Пред­по­ло­жим, что ше­сти­уголь­ник толь­ко один. Тогда ко­ли­че­ство вер­шин у пя­ти­уголь­ни­ков равно 37 − 6  =  31. Этого не может быть, по­то­му что число 31 на 5 не де­лит­ся.

Если ше­сти­уголь­ни­ков два, то ко­ли­че­ство вер­шин у пя­ти­уголь­ни­ков равно 37 − 12  =  25. Зна­чит, пя­ти­уголь­ни­ков может быть пять.

Если ше­сти­уголь­ни­ков три, то ко­ли­че­ство вер­шин у пя­ти­уголь­ни­ков равно 37 − 18  =  19, чего не может быть.

Если ше­сти­уголь­ни­ков че­ты­ре, то ко­ли­че­ство вер­шин у пя­ти­уголь­ни­ков равно 37 − 24  =  13, чего не может быть.

Если ше­сти­уголь­ни­ков пять, то ко­ли­че­ство вер­шин у пя­ти­уголь­ни­ков равно 37 − 30  =  7, чего не может быть.

Боль­ше пяти ше­сти­уголь­ни­ков быть не может.

До­пус­ка­ет­ся дру­гая по­сле­до­ва­тель­ность дей­ствий и рас­суж­де­ний, обос­но­ван­но при­во­дя­щая к вер­но­му от­ве­ту.

Ответ: 5.