Ре­ше­ние. Пред­по­ло­жим, что пя­ти­уголь­ник толь­ко один. Тогда ко­ли­че­ство вер­шин у ше­сти­уголь­ни­ков равно 34 − 5  =  29. Этого не может быть, по­то­му что число 29 на 6 не де­лит­ся.

Если пя­ти­уголь­ни­ков два, то ко­ли­че­ство вер­шин у ше­сти­уголь­ни­ков равно 34 − 10  =  24. Зна­чит, может быть 4 ше­сти­уголь­ни­ка.

Если пя­ти­уголь­ни­ков три, то ко­ли­че­ство вер­шин у ше­сти­уголь­ни­ков равно 34 − 15  =  19, чего не может быть.

Если пя­ти­уголь­ни­ков че­ты­ре, то ко­ли­че­ство вер­шин у ше­сти­уголь­ни­ков равно 34 − 20  =  14, чего не может быть.

Если пя­ти­уголь­ни­ков пять, то ко­ли­че­ство вер­шин у ше­сти­уголь­ни­ков равно 34 − 25  =  9, чего не может быть.

Боль­ше пяти пя­ти­уголь­ни­ков быть не может.

До­пус­ка­ет­ся дру­гая по­сле­до­ва­тель­ность дей­ствий и рас­суж­де­ний, обос­но­ван­но при­во­дя­щая к вер­но­му от­ве­ту.

Ответ: 4.